Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính
Phương trình chứa ít nhất một hệ số vi phân hoặc đạo hàm của một biến số chưa biết được gọi là phương trình vi phân. Một phương trình vi phân có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến tính. Phạm vi của bài viết này là giải thích phương trình vi phân tuyến tính là gì, phương trình vi phân phi tuyến là gì và sự khác biệt giữa phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến là gì.
Kể từ khi các nhà toán học như Newton và Leibnitz phát triển giải tích vào thế kỷ 18, phương trình vi phân đã đóng một vai trò quan trọng trong câu chuyện toán học. Phương trình vi phân có tầm quan trọng lớn trong toán học vì phạm vi ứng dụng của chúng. Phương trình vi phân là trọng tâm của mọi mô hình mà chúng tôi phát triển để giải thích bất kỳ tình huống hoặc sự kiện nào trên thế giới cho dù đó là trong vật lý, kỹ thuật, hóa học, thống kê, phân tích tài chính hay sinh học (danh sách là vô tận). Trên thực tế, cho đến khi giải tích trở thành một lý thuyết được thiết lập, các công cụ toán học thích hợp không có sẵn để phân tích các vấn đề thú vị trong tự nhiên.
Các phương trình kết quả từ một ứng dụng cụ thể của giải tích có thể rất phức tạp và đôi khi không thể giải được. Tuy nhiên, có những vấn đề mà chúng ta có thể giải quyết, nhưng có thể trông giống nhau và khó hiểu. Do đó, để nhận dạng dễ dàng hơn, các phương trình vi phân được phân loại theo hành vi toán học của chúng. Tuyến tính và phi tuyến là một trong những phân loại như vậy. Điều quan trọng là xác định sự khác biệt giữa phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính.
Phương trình vi phân tuyến tính là gì?
Giả sử rằng f: X → Y và f (x)=y, một phương trình vi phân không có số hạng phi tuyến của hàm chưa biết y và các đạo hàm của nó được gọi là phương trình vi phân tuyến tính.
Nó áp đặt điều kiện rằng y không thể có các số hạng chỉ số cao hơn như y2, y3,… và bội số của các đạo hàm như vậy như
Nó cũng không thể chứa các số hạng phi tuyến tính như Sin y, ey ^ -2hoặc ln y. Nó có dạng,
trong đó y và g là các hàm của x. Phương trình là một phương trình vi phân bậc n, là chỉ số của đạo hàm bậc cao nhất.
Trong một phương trình vi phân tuyến tính, toán tử vi phân là một toán tử tuyến tính và các nghiệm tạo thành một không gian vectơ. Do tính chất tuyến tính của tập nghiệm, tổ hợp tuyến tính của các nghiệm cũng là một nghiệm của phương trình vi phân. Nghĩa là, nếu y1và y2là nghiệm của phương trình vi phân thì C1y1+ C2y2cũng là một giải pháp.
Tính tuyến tính của phương trình chỉ là một tham số của phân loại và nó có thể được phân loại thành các phương trình đồng nhất hoặc không thuần nhất và phương trình vi phân thường hoặc riêng. Nếu hàm là g=0 thì phương trình là một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Nếu f là một hàm của hai hoặc nhiều biến độc lập (f: X, T → Y) và f (x, t)=y, thì phương trình là một phương trình vi phân riêng tuyến tính.
Phương pháp giải cho phương trình vi phân phụ thuộc vào loại và các hệ số của phương trình vi phân. Trường hợp dễ nhất phát sinh khi các hệ số không đổi. Ví dụ cổ điển cho trường hợp này là định luật chuyển động thứ hai của Newton và các ứng dụng khác nhau của nó. Định luật thứ hai của Newton tạo ra phương trình vi phân tuyến tính bậc hai với hệ số không đổi.
Phương trình vi phân phi tuyến là gì?
Phương trình chứa các số hạng phi tuyến được gọi là phương trình vi phân phi tuyến tính.
Tất cả trên đều là phương trình vi phân phi tuyến. Phương trình vi phân phi tuyến rất khó giải, do đó, cần phải nghiên cứu kỹ lưỡng để có được một lời giải chính xác. Trong trường hợp phương trình đạo hàm riêng, hầu hết các phương trình không có nghiệm tổng quát. Do đó, mỗi phương trình phải được xử lý độc lập.
Phương trình Navier-Stokes và phương trình Euler trong động lực học chất lỏng, phương trình trường của thuyết tương đối rộng của Einstein là những phương trình đạo hàm riêng phi tuyến rất nổi tiếng. Đôi khi việc áp dụng phương trình Lagrange cho một hệ biến số có thể dẫn đến một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
Sự khác biệt giữa Phương trình Vi phân Tuyến tính và Phi tuyến tính là gì?
• Phương trình vi phân chỉ có các số hạng tuyến tính của biến phụ thuộc hoặc chưa biết và các đạo hàm của nó, được gọi là phương trình vi phân tuyến tính. Nó không có thuật ngữ với biến phụ thuộc của chỉ số cao hơn 1 và không chứa bất kỳ bội số nào trong số các dẫn xuất của nó. Nó không thể có các hàm phi tuyến như hàm lượng giác, hàm mũ và hàm logarit đối với biến phụ thuộc. Bất kỳ phương trình vi phân nào có chứa các số hạng được đề cập ở trên đều là phương trình vi phân phi tuyến.
• Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính tạo ra không gian vectơ và toán tử vi phân cũng là một toán tử tuyến tính trong không gian vectơ.
• Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính tương đối dễ hơn và tồn tại các nghiệm tổng quát. Đối với phương trình phi tuyến, trong hầu hết các trường hợp, nghiệm tổng quát không tồn tại và giải pháp có thể là vấn đề cụ thể. Điều này làm cho giải pháp khó hơn nhiều so với các phương trình tuyến tính.
