Phương trình sai phân so với Phương trình vi phân
Một hiện tượng tự nhiên có thể được mô tả toán học bằng các hàm của một số biến và tham số độc lập. Đặc biệt là khi chúng được biểu thị bằng một hàm của vị trí không gian và thời gian thì nó dẫn đến phương trình. Hàm có thể thay đổi với sự thay đổi của các biến độc lập hoặc các tham số. Một sự thay đổi vô cùng nhỏ xảy ra trong hàm khi một trong các biến của nó bị thay đổi được gọi là đạo hàm của hàm đó.
Phương trình vi phân là bất kỳ phương trình nào chứa các đạo hàm của một hàm cũng như chính hàm đó. Một phương trình vi phân đơn giản là định luật chuyển động thứ hai của Newton. Nếu một vật có khối lượng m đang chuyển động với gia tốc ‘a’ và được tác dụng với lực F thì Định luật II Newton cho chúng ta biết rằng F=ma. Ở đây một lần nữa, ‘a’ thay đổi theo thời gian, chúng ta có thể viết lại ‘a’ là; a=dv / dt; v là vận tốc. Vận tốc là hàm của không gian và thời gian, đó là v=ds / dt; do đó ‘a’=d2s / dt2
Hãy ghi nhớ những điều này, chúng ta có thể viết lại định luật thứ hai của Newton dưới dạng một phương trình vi phân;
‘F’ dưới dạng một hàm của v và t - F (v, t)=mdv / dt, hoặc
'F' là một hàm của s và t - F (s, ds / dt, t)=m d2s / dt2
Có hai loại phương trình vi phân; phương trình vi phân thông thường, viết tắt bởi ODE hoặc phương trình vi phân riêng, viết tắt bởi PDE. Phương trình vi phân thông thường sẽ có các đạo hàm thông thường (đạo hàm của một biến duy nhất) trong đó. Phương trình vi phân từng phần sẽ có các đạo hàm vi phân (đạo hàm của nhiều hơn một biến) trong đó.
ví dụ: F=m d2s / dt2là ODE, trong khi α2d2u / dx2=du / dt là một PDE, nó có các đạo hàm của t và x.
Phương trình sai phân giống như phương trình vi phân nhưng chúng ta xem xét nó trong bối cảnh khác. Trong phương trình vi phân, biến số độc lập chẳng hạn như thời gian được xem xét trong bối cảnh của hệ thống thời gian liên tục. Trong hệ thống thời gian rời rạc, chúng ta gọi hàm là phương trình chênh lệch.
Phương trình sai khác là một hàm của sự khác biệt. Sự khác biệt trong các biến độc lập là ba loại; dãy số, hệ thống động lực rời rạc và hàm lặp.
Trong dãy số, sự thay đổi được tạo ra một cách đệ quy bằng cách sử dụng một quy tắc để liên kết mỗi số trong dãy với các số trước đó trong dãy.
Phương trình sai phân trong một hệ thống động lực học rời rạc nhận một số tín hiệu đầu vào rời rạc và tạo ra tín hiệu đầu ra.
Phương trình sai phân là một ánh xạ lặp lại cho hàm được lặp lại. Ví dụ: y0, f (y0), f (f (y0)), f (f (f (y0))),….là dãy của một hàm được lặp lại. F (y0) là lần lặp đầu tiên của y0Lần lặp thứ k sẽ được ký hiệu là fk (y0 ).
