Biến đổi Laplace vs Fourier
Cả phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier đều là phép biến đổi tích phân, được sử dụng phổ biến nhất làm phương pháp toán học để giải các hệ thống vật lý được mô hình toán học. Quá trình này rất đơn giản. Một mô hình toán học phức tạp được chuyển đổi thành một mô hình đơn giản hơn, có thể giải được bằng cách sử dụng một phép biến đổi tích phân. Khi mô hình đơn giản hơn được giải quyết, phép biến đổi tích phân ngược được áp dụng, điều này sẽ cung cấp lời giải cho mô hình ban đầu.
Ví dụ: vì hầu hết các hệ thống vật lý đều dẫn đến phương trình vi phân, chúng có thể được chuyển đổi thành phương trình đại số hoặc thành phương trình vi phân dễ giải hơn bằng cách sử dụng một phép biến đổi tích phân. Khi đó việc giải quyết vấn đề sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Biến đổi Laplace là gì?
Cho một hàm f (t) của một biến thực t, biến đổi Laplace của nó được xác định bởi tích phân [latex] F (s)=\\ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt [/latex] (bất cứ khi nào nó tồn tại), là một hàm của một biến phức s. Nó thường được ký hiệu là L {f (t)}. Phép biến đổi Laplace ngược của một hàm F (s) được coi là hàm f (t) theo cách sao cho L {f (t)}=F (s), và trong ký hiệu toán học thông thường chúng ta viết, L-1{F (s)}=f (t). Phép biến đổi nghịch đảo có thể được thực hiện duy nhất nếu không cho phép các hàm rỗng. Người ta có thể xác định hai toán tử này là toán tử tuyến tính được xác định trong không gian hàm, và cũng dễ dàng thấy rằng, L-1{L {f (t)}}=f (t), nếu các hàm rỗng không được phép.
Bảng sau liệt kê các phép biến đổi Laplace của một số hàm phổ biến nhất.
Biến đổi Fourier là gì?
Cho một hàm f (t) của một biến thực t, biến đổi Laplace của nó được xác định bởi tích phân [latex] F (\ alpha)=\\ frac {1} {\ sqrt {2 \\ pi}} / int _ {- \\ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \\ alpha t} f (t) dt [/latex] (bất cứ khi nào nó tồn tại) và thường được ký hiệu là F {f (t)}. Biến đổi nghịch đảo F-1{F (α)} được cho bởi tích phân [latex] f (t)=\\ frac {1} {\ sqrt {2 \\ pi }} / int _ {- \\ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \\ alpha t} F (\ alpha) d \\ alpha [/latex]. Biến đổi Fourier cũng tuyến tính và có thể được coi như một toán tử được xác định trong không gian hàm.
Sử dụng phép biến đổi Fourier, hàm ban đầu có thể được viết như sau với điều kiện là hàm chỉ có số điểm gián đoạn hữu hạn và hoàn toàn có thể tích phân được.
Sự khác biệt giữa Biến đổi Laplace và Biến đổi Fourier là gì?
- Biến đổi Fourier của một hàm f (t) được định nghĩa là [latex] F (\ alpha)=\\ frac {1} {\ sqrt {2 \\ pi}} / int _ {- / \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \\ alpha t} f (t) dt [/latex], trong khi biến đổi laplace của nó được định nghĩa là [latex] F (s)=\\ int_ { 0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt [/latex].
- Biến đổi Fourier chỉ được xác định cho các hàm được xác định cho tất cả các số thực, trong khi biến đổi Laplace không yêu cầu hàm được xác định trên tập các số thực âm.
- Phép biến đổi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace. Có thể thấy rằng cả hai đều trùng khớp đối với các số thực không âm. (tức là lấy s trong Laplace là iα + β trong đó α và β là thực sao cho eβ=1/√ (2ᴫ))
- Mọi hàm có biến đổi Fourier sẽ có biến đổi Laplace nhưng không ngược lại.
