Cardinal vs Ordinal
Trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta, việc sử dụng các con số có thể ở các hình thức khác nhau trong các tình huống khác nhau. Ví dụ, khi chúng ta đếm để tìm ra kích thước của một tập hợp các đối tượng, chúng ta sẽ đếm chúng là một, hai, ba, v.v. Khi chúng ta muốn đếm thứ gì đó để biết vị trí của các đối tượng, chúng ta đếm chúng là thứ nhất, thứ hai, thứ ba, v.v. Trong hình thức đếm đầu tiên, các số được cho là số chính. Trong hình thức đếm thứ hai, các con số được coi là số thứ tự. Trong bối cảnh này, các khái niệm cardinal và ordinal hoàn toàn là một vấn đề của ngôn ngữ học; cardinal và ordinal là những tính từ.
Tuy nhiên, việc mở rộng khái niệm thành các tập hợp trong toán học cho thấy một góc nhìn sâu hơn và rộng hơn nhiều và không thể được coi là đơn giản. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng hiểu các khái niệm cơ bản về số thứ tự và số thứ tự trong toán học.
Định nghĩa chính thức về số thứ tự và số chính được cung cấp trong lý thuyết tập hợp. Các định nghĩa rất phức tạp và để hiểu chúng theo nghĩa hoàn hảo cần có kiến thức nền tảng về lý thuyết tập hợp. Do đó, chúng tôi sẽ hướng tới một vài ví dụ, để hiểu các khái niệm theo phương pháp kinh nghiệm.
Xét hai tập hợp {1, 3, 6, 4, 5, 2} và {xe buýt, ô tô, phà, xe lửa, máy bay, máy bay trực thăng}. Mỗi tập hợp liệt kê một tập hợp các phần tử và nếu chúng ta đếm số phần tử thì rõ ràng là mỗi tập hợp có cùng số phần tử, là 6. Đi đến kết luận này, chúng tôi đã lấy kích thước của một tập hợp này và so sánh với tập hợp khác bằng cách sử dụng con số. Một số như vậy được gọi là một số chính. Do đó, chúng ta có thể nói rằng một số chính là một số mà chúng ta có thể sử dụng để so sánh kích thước của các tập hợp hữu hạn.
Một lần nữa, tập hợp số đầu tiên có thể được sắp xếp theo thứ tự tăng dần khi xem xét kích thước của từng phần tử và so sánh chúng. Trong quá trình đặt hàng, những con số được coi là những con bài. Tương tự như vậy, tập hợp tất cả các số nguyên không âm có thể được sắp xếp trong một tập hợp; tức là {0, 1, 2, 3, 4,….}. Nhưng trong trường hợp này, kích thước của tập hợp trở nên vô hạn, và việc cung cấp cho nó theo thứ tự là không thể. Cho dù bạn chọn một số lớn như thế nào để cung cấp cho kích thước của tập hợp, vẫn sẽ có những số còn lại trong tập hợp bạn chọn và đó là những số nguyên không âm.
Do đó, các nhà toán học định nghĩa thẻ chữ cái vô hạn này (là thẻ đầu tiên) là Aleph-0, được viết là א (chữ cái đầu tiên trong bảng chữ cái tiếng Do Thái). Về mặt hình thức, số thứ tự là loại thứ tự của một tập hợp có thứ tự tốt. Do đó, số thứ tự của các tập hợp hữu hạn có thể được cho bởi các số chính, nhưng đối với các tập hợp vô hạn, thứ tự được cho bởi các số vô hạn như Aleph-0.
Sự khác biệt giữa Con số Hồng y và Số thứ tự là gì?
• Số chính là một số có thể được sử dụng để đếm hoặc để cung cấp kích thước của một tập hợp có thứ tự hữu hạn. Tất cả các số chính là thứ tự.
• Số thứ tự là số được sử dụng để cung cấp kích thước của cả tập có thứ tự hữu hạn và vô hạn. Kích thước của các tập hợp có thứ tự hữu hạn được cung cấp bởi các chữ số đại số Hindu-Ả Rập thông thường và kích thước tập hợp vô hạn được cung cấp bởi các số vô hạn.
