Sự kiện độc lập lẫn nhau và độc lập
Mọi người thường nhầm lẫn khái niệm các sự kiện loại trừ lẫn nhau với các sự kiện độc lập. Trên thực tế, đây là hai thứ khác nhau.
Gọi A và B là hai sự kiện bất kỳ liên quan đến một thí nghiệm ngẫu nhiên E. P (A) được gọi là “Xác suất của A”. Tương tự, chúng ta có thể xác định xác suất của B là P (B), xác suất của A hoặc B là P (A∪B), và xác suất của A và B là P (A∩B). Khi đó, P (A∪B)=P (A) + P (B) -P (A∩B).
Tuy nhiên, hai sự kiện được cho là loại trừ lẫn nhau nếu sự kiện này không ảnh hưởng đến sự kiện kia. Nói cách khác, chúng không thể xảy ra đồng thời. Do đó, nếu hai sự kiện A và B loại trừ lẫn nhau thì A∩B=∅ và do đó, điều đó có nghĩa là P (A∪B)=P (A) + P (B).
Cho A và B là hai sự kiện trong không gian mẫu S. Xác suất có điều kiện của A, cho rằng B đã xảy ra, được ký hiệu là P (A | B) và được định nghĩa là; P (A | B)=P (A∩B) / P (B), với điều kiện P (B) >0. (nếu không, nó không được xác định.)
Một sự kiện A được cho là độc lập với sự kiện B, nếu xác suất A xảy ra không bị ảnh hưởng bởi việc B có xảy ra hay không. Nói cách khác, kết quả của sự kiện B không ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện A. Do đó, P (A | B)=P (A). Tương tự, B độc lập với A nếu P (B)=P (B | A). Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng nếu A và B là các sự kiện độc lập thì P (A∩B)=P (A). P (B)
Giả sử rằng một khối lập phương được đánh số được cuộn và một đồng xu đẹp được tung lên. Gọi A là biến cố thu được đầu và B là biến cố lăn một số chẵn. Khi đó chúng ta có thể kết luận rằng các sự kiện A và B là độc lập, bởi vì kết quả của một sự kiện này không ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện kia. Do đó, P (A∩B)=P (A). P (B)=(1/2) (1/2)=1/4. Vì P (A∩B) ≠ 0 nên A và B không thể loại trừ lẫn nhau.
Giả sử một bình đựng 7 viên bi trắng và 8 viên bi đen. Xác định sự kiện A là vẽ một viên bi trắng và sự kiện B là vẽ một viên bi đen. Giả sử mỗi viên bi sẽ được thay thế sau khi ghi lại màu sắc của nó, thì P (A) và P (B) sẽ luôn giống nhau, cho dù chúng ta rút ra từ cái lọ bao nhiêu lần. Việc thay thế các viên bi có nghĩa là xác suất không thay đổi từ lần rút này sang lần hòa khác, bất kể chúng tôi đã chọn màu gì trong lần rút cuối cùng. Do đó, sự kiện A và B là độc lập.
Tuy nhiên, nếu các viên bi được rút ra mà không cần thay thế, thì mọi thứ sẽ thay đổi. Theo giả thiết này, các sự kiện A và B không độc lập. Vẽ một viên bi trắng lần đầu tiên thay đổi xác suất để vẽ một viên bi đen trong lần vẽ thứ hai, v.v. Nói cách khác, mỗi lần rút thăm có ảnh hưởng đến lần rút thăm tiếp theo, và do đó, các lần rút thăm riêng lẻ không độc lập.
Sự khác biệt giữa các sự kiện độc lập và loại trừ lẫn nhau
- Sự độc lập lẫn nhau của các sự kiện có nghĩa là không có sự chồng chéo giữa các tập hợp A và B. Sự độc lập của các sự kiện có nghĩa là việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến sự xảy ra của B.
- Nếu hai sự kiện A và B loại trừ lẫn nhau thì P (A∩B)=0.
- Nếu hai sự kiện A và B độc lập thì P (A∩B)=P (A). P (B)
