Sự khác biệt giữa Tích phân Riemann và Tích phân Lebesgue

2024 Tác giả: Alex Aldridge | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2023-12-17 13:53

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Tích hợp là một chủ đề chính trong giải tích. Theo một cách hiểu sâu sắc hơn, tích hợp có thể được coi là quá trình ngược lại của sự khác biệt hóa. Khi mô hình hóa các bài toán trong thế giới thực, có thể dễ dàng viết các biểu thức liên quan đến đạo hàm. Trong tình huống như vậy, phép toán tích hợp được yêu cầu để tìm hàm, hàm này đã tạo ra đạo hàm cụ thể.

Từ một góc độ khác, tích phân là một quá trình tính tổng tích của một hàm ƒ (x) và δx, trong đó δx có xu hướng là một giới hạn nhất định. Đây là lý do tại sao, chúng tôi sử dụng ký hiệu tích hợp là ∫. Trên thực tế, ký hiệu ∫ là những gì chúng ta thu được bằng cách kéo dài chữ s để chỉ tổng.

Riemann Tích phân

Xét một hàm số y=ƒ (x). Tích phân của y giữa a và b, trong đó a và b thuộc tập x, được viết là_b∫^aƒ (x) dx=[F (x)]_{a → b}=F (b) - F (a). Đây được gọi là một tích phân xác định của một hàm duy nhất có giá trị và liên tục y=ƒ (x) giữa a và b. Điều này cho diện tích dưới đường cong giữa a và b. Đây còn được gọi là tích phân Riemann. Tích phân Riemann được tạo ra bởi Bernhard Riemann. Tích phân Riemann của một hàm liên tục dựa trên số đo Jordan, do đó, nó cũng được định nghĩa là giới hạn của các tổng Riemann của hàm. Đối với một hàm có giá trị thực được xác định trên một khoảng đóng, tích phân Riemann của hàm đối với phân hoạch x₁, x₂,…, x n_{được xác định trên khoảng [a, b] và t}1_{, t}2_{,…, t n}, trong đó x_i≤ t_i≤ x_{i + 1}cho mỗi i ε {1, 2,…, n}, tổng Riemann được định nghĩa là Σ_{i=o đến n-1}ƒ (t_i) (x_{i + 1}- x_i).

Lebesgue Tích phân

Lebesgue là một dạng tích phân khác, bao hàm nhiều trường hợp hơn tích phân Riemann. Tích phân lebesgue được Henri Lebesgue đưa ra vào năm 1902. Tích phân Lebesgue có thể được coi là tổng quát của tích phân Riemann.

Tại sao chúng ta cần nghiên cứu một tích phân khác?

Chúng ta hãy xem xét hàm đặc trưng ƒ_{A (x)=}{ _{0 nếu, x không ε A}^{1 nếu, x ε A}trên tập A. Khi đó tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm đặc trưng, được xác định là F (x)=Σ a_{i ƒ E}i_{(x) được gọi là hàm đơn giản nếu E}i_{có thể đo được với mỗi i. Tích phân Lebesgue của F (x) trên E được ký hiệu là}E_{∫ ƒ (x) dx. Hàm F (x) không tích phân Riemann. Do đó tích phân Lebesgue là tích phân Riemann diễn đạt lại, có một số hạn chế đối với các hàm được tích phân.}

Sự khác biệt giữa Riemann Integral và Lebesgue Integral là gì?

· Tích phân Lebesgue là một dạng tổng quát của tích phân Riemann.

· Tích phân Lebesgue cho phép đếm được vô số điểm gián đoạn, trong khi tích phân Riemann cho phép một số điểm gián đoạn hữu hạn.