Dòng Power vs Dòng Taylor
Trong toán học, một dãy số thực là một danh sách các số thực có thứ tự. Về mặt hình thức, nó là một hàm chuyển từ tập hợp các số tự nhiên trong thành tập hợp các số thực. Nếunlà số hạng thứ nthứcủa một dãy, chúng ta biểu thị dãy bằng hoặc bằng dấu1, a2,…, an, …. Ví dụ, hãy xem xét chuỗi 1, ½, ⅓,…,1/n,…. Nó có thể được ký hiệu là {1 / n}.
Có thể xác định một chuỗi bằng cách sử dụng trình tự. Một chuỗi là tổng các số hạng của một chuỗi. Vì vậy, đối với mỗi trình tự, có một trình tự liên kết và ngược lại. Nếu {an}là dãy đang được xem xét, thì dãy được tạo thành bởi dãy đó có thể được biểu diễn dưới dạng:
Như vậy, trong ví dụ trên, chuỗi liên kết là 1 +1/2+1 /3+… +1/n+….
Như tên gợi ý, chuỗi lũy thừa là một loại chuỗi đặc biệt và nó được sử dụng rộng rãi trong Phân tích số và mô hình toán học liên quan. Dòng Taylor là dòng công suất đặc biệt cung cấp một cách thay thế và dễ thao tác để biểu diễn các chức năng nổi tiếng.
Dòng Power là gì?
Chuỗi lũy thừa là một chuỗi có dạng
là hội tụ (có thể) đối với một khoảng nào đó có tâm tại c. Các hệ số ancó thể là số thực hoặc số phức, và độc lập với x; tức là biến giả.
Ví dụ: bằng cách đặtn=1 cho mỗi n và c=0, chuỗi lũy thừa 1 + x + x2+….. + x+… được. Dễ dàng nhận thấy rằng khi x ε (-1, 1), chuỗi lũy thừa này hội tụ về 1 / (1-x).
Một chuỗi lũy thừa hội tụ khi x=c. Các giá trị khác của x mà chuỗi lũy thừa hội tụ sẽ luôn có dạng một khoảng mở có tâm tại c. Tức là sẽ có một giá trị 0≤ R ≤ ∞ sao cho với mỗi x thỏa mãn | x-c | ≤ R, chuỗi lũy thừa là hội tụ và với mỗi x thỏa mãn | x-c | > R, chuỗi lũy thừa là phân kỳ. Giá trị R này được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (R có thể nhận giá trị thực bất kỳ hoặc dương vô cùng).
Dãy lũy thừa có thể được cộng, trừ, nhân và chia theo các quy tắc sau. Hãy xem xét hai chuỗi lũy thừa:
Sau đó,
tức là. như các điều khoản được cộng hoặc trừ cùng nhau. Ngoài ra, có thể nhân và chia hai chuỗi lũy thừa bằng cách sử dụng danh tính,
Chuỗi Taylor là gì?
Chuỗi Taylor được định nghĩa cho một hàm f (x) khả vi vô hạn trên một khoảng. Giả sử f (x) khả vi trên một khoảng có tâm tại c. Sau đó, chuỗi lũy thừa được cho bởi
được gọi là khai triển chuỗi Taylor của hàm f (x) về c. (Ở đây f(n)(c) biểu thị đạo hàm cấp nthứtại x=c). Trong Phân tích số, một số lượng hữu hạn các số hạng trong khai triển vô hạn này được sử dụng để tính toán các giá trị tại các điểm mà chuỗi hội tụ về hàm ban đầu.
Một hàm f (x) được cho là có giải tích trong khoảng (a, b), nếu với mỗi x ε (a, b), chuỗi Taylor của f (x) hội tụ đến hàm f (x). Ví dụ: 1 / (1-x) là giải tích trên (-1, 1), vì khai triển Taylor của nó 1 + x + x2+…. + X +… hội tụ đến hàm trên khoảng đó và exlà giải tích ở mọi nơi, vì chuỗi Taylor của exhội tụ thành excho mỗi số thực x.
Sự khác biệt giữa dòng Power và dòng Taylor là gì?
1. Chuỗi Taylor là một loại chuỗi lũy thừa đặc biệt chỉ được xác định cho các hàm có thể phân biệt vô hạn trên một số khoảng mở.
2. Chuỗi Taylor có dạng đặc biệt
trong khi chuỗi lũy thừa có thể là bất kỳ chuỗi nào có dạng
