Phân biệt so với Đạo hàm
Trong phép tính vi phân, đạo hàm và phân biệt có liên quan chặt chẽ với nhau, nhưng rất khác nhau và được sử dụng để biểu diễn hai khái niệm toán học quan trọng liên quan đến các hàm số.
Đạo hàm là gì?
Đạo hàm của một hàm đo tốc độ mà giá trị của hàm thay đổi khi đầu vào của nó thay đổi. Trong hàm nhiều biến, sự thay đổi giá trị của hàm phụ thuộc vào hướng thay đổi giá trị của các biến độc lập. Do đó, trong những trường hợp như vậy, một hướng cụ thể được chọn và chức năng được phân biệt theo hướng cụ thể đó. Đạo hàm đó được gọi là đạo hàm có hướng. Các dẫn xuất từng phần là một loại dẫn xuất có hướng đặc biệt.
Đạo hàm của hàm có giá trị vectơ f có thể được xác định là giới hạn [latex] / frac {df} {d \\ boldsymbol {u}}=\\ lim_ {h / to 0} / frac {f (\ boldsymbol {x} + h \\ boldsymbol {u}) - f (\ boldsymbol {x})} {h} [/latex] bất cứ nơi nào nó tồn tại lâu dài. Như đã đề cập trước đây, điều này cho chúng ta tốc độ tăng của hàm f dọc theo hướng của vectơ u. Trong trường hợp một hàm có giá trị đơn, điều này làm giảm định nghĩa nổi tiếng về đạo hàm, [latex] / frac {df} {dx}=\\ lim_ {h \\ thành 0} / frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/latex]
Ví dụ: [latex] f (x)=x ^ {3} + 4x + 5 [/latex] có thể phân biệt được ở mọi nơi và đạo hàm bằng giới hạn, [latex] / lim_ {h \\ thành 0} / frac {(x + h) ^ {3} +4 (x + h) + 5- (x ^ {3} + 4x + 5)} {h} [/latex], là bằng [latex] 3x ^ {2} +4 [/latex]. Các dẫn xuất của các hàm như [latex] e ^ {x}, \\ sin x, \\ cos x [/latex] tồn tại ở khắp mọi nơi. Chúng tương ứng bằng các hàm [latex] e ^ {x}, \\ cos x, - \\ sin x [/latex].
Đây được gọi là đạo hàm đầu tiên. Thường thì đạo hàm bậc nhất của hàm f được ký hiệu là f(1)Bây giờ sử dụng ký hiệu này, có thể xác định các đạo hàm bậc cao hơn. [latex] / frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}=\\ lim_ {h \\ đến 0} / frac {f ^ {(1)} (x + h) -f ^ {(1)} (x)} {h} [/latex] là đạo hàm có hướng bậc hai và biểu thị đạo hàm cấp nthứbởi f(n)cho mỗi n, [latex] / frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}=\\ lim_ {h \\ đến 0} / frac {f ^ {(n -1)} (x + h) -f ^ {(n-1)} (x)} {h} [/latex], xác định đạo hàm thứ nthứ.
Sự khác biệt là gì?
Phân biệt là quá trình tìm đạo hàm của một hàm phân biệt. Toán tử D được ký hiệu là D đại diện cho sự khác biệt trong một số ngữ cảnh. Nếu x là biến độc lập thì D ≡d/dx. Toán tử D là một toán tử tuyến tính, tức là đối với bất kỳ hai hàm phân biệt f và g nào và hằng số c, các thuộc tính sau đây được giữ nguyên.
Tôi. D (f + g)=D (f) + D (g)
II. D (cf)=cD (f)
Sử dụng toán tử D, các quy tắc khác liên quan đến sự khác biệt có thể được biểu diễn như sau. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/g)=[D (f) g - f D (g)]/g 2và D (f o g)=(D (f) o g) D (g).
Ví dụ, khi F (x)=x2sin x được phân biệt với x bằng cách sử dụng các quy tắc đã cho, câu trả lời sẽ là 2 x sin x + x2cos x.
Sự khác biệt giữa phân biệt và đạo hàm là gì?• Đạo hàm đề cập đến tốc độ thay đổi của một hàm • Phân biệt là quá trình tìm đạo hàm của một hàm. |
