Đạo hàm vs Vi phân
Trong phép tính vi phân, đạo hàm và vi phân của một hàm số có liên quan chặt chẽ với nhau nhưng có ý nghĩa rất khác nhau và được sử dụng để biểu diễn hai đối tượng toán học quan trọng liên quan đến các hàm phân biệt.
Đạo hàm là gì?
Đạo hàm của một hàm đo tốc độ mà giá trị của hàm thay đổi khi đầu vào của nó thay đổi. Trong hàm nhiều biến, sự thay đổi giá trị của hàm phụ thuộc vào hướng thay đổi giá trị của các biến độc lập. Do đó, trong những trường hợp như vậy, một hướng cụ thể được chọn và chức năng được phân biệt theo hướng cụ thể đó. Đạo hàm đó được gọi là đạo hàm có hướng. Các dẫn xuất từng phần là một loại dẫn xuất có hướng đặc biệt.
Đạo hàm của hàm có giá trị vectơ f có thể được xác định là giới hạn [latex] / frac {df} {d \\ boldsymbol {u}}=\\ lim_ {h / to 0} / frac {f (\ boldsymbol {x} + h \\ boldsymbol {u}) - f (\ boldsymbol {x})} {h} [/latex] bất cứ nơi nào nó tồn tại lâu dài. Như đã đề cập trước đây, điều này cho chúng ta tốc độ tăng của hàm f dọc theo hướng của vectơ u. Trong trường hợp một hàm có giá trị đơn, điều này làm giảm định nghĩa nổi tiếng về đạo hàm, [latex] / frac {df} {dx}=\\ lim_ {h \\ thành 0} / frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/latex]
Ví dụ: [latex] f (x)=x ^ {3} + 4x + 5 [/latex] có thể phân biệt được ở mọi nơi và đạo hàm bằng giới hạn, [latex] / lim_ {h \\ thành 0} / frac {(x + h) ^ {3} +4 (x + h) + 5- (x ^ {3} + 4x + 5)} {h} [/latex], là bằng [latex] 3x ^ {2} +4 [/latex]. Các dẫn xuất của các hàm như [latex] e ^ {x}, \\ sin x, \\ cos x [/latex] tồn tại ở khắp mọi nơi. Chúng tương ứng bằng các hàm [latex] e ^ {x}, \\ cos x, - \\ sin x [/latex].
Đây được gọi là đạo hàm đầu tiên. Thường thì đạo hàm bậc nhất của hàm f được ký hiệu là f(1)Bây giờ sử dụng ký hiệu này, có thể xác định các đạo hàm bậc cao hơn. [latex] / frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}=\\ lim_ {h \\ đến 0} / frac {f ^ {(1)} (x + h) -f ^ {(1)} (x)} {h} [/latex] là đạo hàm có hướng bậc hai và biểu thị đạo hàm cấp nthứbởi f(n)cho mỗi n, [latex] / frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}=\\ lim_ {h \\ đến 0} / frac {f ^ {(n -1)} (x + h) -f ^ {(n-1)} (x)} {h} [/latex], xác định đạo hàm thứ nthứ.
Sự khác biệt là gì?
Vi phân của một hàm biểu thị sự thay đổi của hàm đối với những thay đổi trong biến hoặc các biến độc lập. Trong ký hiệu thông thường, đối với một hàm f cho trước của một biến x, tổng vi phân bậc 1 df được cho bởi, [latex] df=f ^ {1} (x) dx [/latex]. Điều này có nghĩa là đối với một thay đổi nhỏ trong x (tức là d x), sẽ có một thay đổi f(1)(x) d x trong f.
Việc sử dụng các giới hạn có thể kết thúc với định nghĩa này như sau. Giả sử ∆ x là sự thay đổi của x tại một điểm x tùy ý và ∆ f là sự thay đổi tương ứng trong hàm f. Có thể chỉ ra rằng ∆ f=f(1)(x) ∆ x + ϵ, trong đó ϵ là sai số. Bây giờ, giới hạn ∆ x → 0∆ f/∆ x=f(1)(x) (sử dụng định nghĩa đã nêu trước đây của đạo hàm) và do đó, ∆ x → 0ϵ/∆ x=0. Do đó, có thể kết luận rằng, ∆ x → 0 ϵ=0. Bây giờ, ký hiệu ∆ x → 0 ∆ f là d f và ∆ x → 0 ∆ x là d x thì định nghĩa của vi phân đã thu được một cách chặt chẽ.
Ví dụ: vi phân của hàm [latex] f (x)=x ^ {3} + 4x + 5 [/latex] là [latex] (3x ^ {2} +4) dx [/cao su].
Trong trường hợp hàm của hai hoặc nhiều biến, tổng vi phân của một hàm được định nghĩa là tổng của vi phân theo hướng của mỗi biến độc lập. Về mặt toán học, nó có thể được phát biểu là [latex] df=\\ sum_ {i=1} ^ {n} / frac {\ part f} {\ part x_ {i}} dx_ {i} [/latex].
Sự khác biệt giữa đạo hàm và vi phân là gì?
• Đạo hàm đề cập đến tốc độ thay đổi của một hàm trong khi vi phân đề cập đến sự thay đổi thực tế của hàm, khi biến độc lập chịu sự thay đổi.
• Đạo hàm được cho bởi [latex] / frac {df} {dx}=\\ lim_ {h / to 0} / frac {f (x + h) -f (x)} { h} [/latex], nhưng vi phân được cho bởi [latex] df=f ^ {1} (x) dx [/latex].
