Hàm phân phối xác suất so với Hàm mật độ xác suất
Xác suất là khả năng xảy ra một sự kiện. Ý tưởng này rất phổ biến và được sử dụng thường xuyên trong cuộc sống hàng ngày khi chúng ta đánh giá cơ hội, giao dịch và nhiều thứ khác. Mở rộng khái niệm đơn giản này sang một tập hợp các sự kiện lớn hơn là một chút thách thức. Ví dụ, chúng ta không thể dễ dàng tìm ra cơ hội trúng xổ số, nhưng thuận tiện, khá trực quan, khi nói rằng có một trong số sáu khả năng chúng ta sẽ nhận được số sáu trong một lần ném xúc xắc.
Khi số lượng sự kiện có thể xảy ra ngày càng lớn hoặc số lượng khả năng xảy ra lớn, thì ý tưởng xác suất khá đơn giản này không thành công. Do đó, nó phải được đưa ra một định nghĩa toán học chắc chắn trước khi tiếp cận các vấn đề có độ phức tạp cao hơn.
Khi số lượng sự kiện có thể diễn ra trong một tình huống lớn, không thể xem xét từng sự kiện riêng lẻ như trong ví dụ về trò ném xúc xắc. Do đó, toàn bộ tập hợp các sự kiện được tóm tắt bằng cách đưa ra khái niệm về biến ngẫu nhiên. Nó là một biến, có thể giả định các giá trị của các sự kiện khác nhau trong tình huống cụ thể đó (hoặc không gian mẫu). Nó mang lại cảm giác toán học cho các sự kiện đơn giản trong tình huống và cách giải quyết sự kiện đó. Chính xác hơn, biến ngẫu nhiên là một hàm có giá trị thực trên các phần tử của không gian mẫu. Các biến ngẫu nhiên có thể rời rạc hoặc liên tục. Chúng thường được ký hiệu bằng các chữ cái viết hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh.
Hàm phân phối xác suất (hay đơn giản là phân phối xác suất) là một hàm gán các giá trị xác suất cho mỗi sự kiện; tức là nó cung cấp mối quan hệ với xác suất cho các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể nhận. Hàm phân phối xác suất được xác định cho các biến ngẫu nhiên rời rạc.
Hàm mật độ xác suất tương đương với hàm phân phối xác suất cho các biến ngẫu nhiên liên tục, cho khả năng một biến ngẫu nhiên nhất định giả định một giá trị nhất định.
Nếu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm đã cho dưới dạng f (x)=P (X=x) với mỗi x trong phạm vi của X được gọi là hàm phân phối xác suất. Một hàm có thể đóng vai trò là hàm phân phối xác suất nếu và chỉ khi hàm thỏa mãn các điều kiện sau.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Một hàm f (x) được xác định trên tập các số thực được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X, nếu và chỉ khi, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx với bất kỳ hằng số thực a và b.
Hàm mật độ xác suất cũng phải thỏa mãn các điều kiện sau.
1. f (x) ≥ 0 với mọi x: -∞ < x < + ∞
2.-∞∫+ ∞f (x) dx=1
Cả hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất đều được sử dụng để biểu diễn phân phối xác suất trên không gian mẫu. Thông thường, chúng được gọi là phân phối xác suất.
Đối với mô hình thống kê, các hàm mật độ xác suất chuẩn và hàm phân phối xác suất được suy ra. Phân phối chuẩn và phân phối chuẩn chuẩn là các ví dụ về phân phối xác suất liên tục. Phân phối nhị thức và phân phối Poisson là những ví dụ về phân phối xác suất rời rạc.
Sự khác biệt giữa Phân phối Xác suất và Hàm Mật độ Xác suất là gì?
• Hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất là các hàm được xác định trên không gian mẫu, để gán giá trị xác suất liên quan cho mỗi phần tử.
• Hàm phân phối xác suất được xác định cho các biến ngẫu nhiên rời rạc trong khi hàm mật độ xác suất được xác định cho các biến ngẫu nhiên liên tục.
• Phân phối các giá trị xác suất (tức là phân phối xác suất) được mô tả tốt nhất bằng hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất.
• Hàm phân phối xác suất có thể được biểu diễn dưới dạng các giá trị trong bảng, nhưng điều đó không thể xảy ra đối với hàm mật độ xác suất vì biến là liên tục.
• Khi được vẽ biểu đồ, hàm phân phối xác suất cho một biểu đồ thanh trong khi hàm mật độ xác suất cho một đường cong.
• Chiều cao / chiều dài của các thanh của hàm phân phối xác suất phải thêm vào 1 trong khi diện tích dưới đường cong của hàm mật độ xác suất phải thêm vào 1.
• Trong cả hai trường hợp, tất cả các giá trị của hàm phải không âm.
