Chức năng rời rạc và Chức năng liên tục
Hàm là một trong những lớp quan trọng nhất của các đối tượng toán học, được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực toán học. Như tên gọi của chúng cho thấy cả hàm rời rạc và hàm liên tục là hai loại hàm đặc biệt.
Hàm là một quan hệ giữa hai tập hợp được xác định theo cách mà đối với mỗi phần tử trong tập hợp đầu tiên, giá trị tương ứng với nó trong tập hợp thứ hai là duy nhất. Gọi f là một hàm xác định từ tập A thành tập B. Khi đó với mỗi x ϵ A, ký hiệu f (x) biểu thị giá trị duy nhất trong tập B tương ứng với x. Nó được gọi là ảnh của x dưới f. Do đó, quan hệ f từ A vào B là một hàm, nếu và chỉ khi với, mỗi xϵ A và y ϵ A; nếu x=y thì f (x)=f (y). Tập A được gọi là miền của hàm f và nó là tập trong đó hàm được xác định.
Ví dụ, xét quan hệ f từ R vào R được xác định bởi f (x)=x + 2 với mỗi xϵ A. Đây là một hàm có miền là R, vì với mỗi số thực x và y, x=y ngụ ý f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Nhưng quan hệ g từ N vào N được xác định bởi g (x)=a, trong đó 'a' là thừa số nguyên tố của x không phải là một hàm vì g (6)=3, cũng như g (6)=2.
Hàm rời rạc là gì?
Một hàm rời rạc là một hàm có miền có thể đếm được nhiều nhất. Đơn giản, điều này có nghĩa là có thể tạo một danh sách bao gồm tất cả các phần tử của miền.
Bất kỳ tập hợp hữu hạn nào cũng có thể đếm được. Tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số hữu tỉ là những ví dụ cho nhiều tập hợp vô hạn có thể đếm được. Tập hợp các số thực và tập hợp các số vô tỉ không đếm được nhiều nhất. Cả hai bộ đều không đếm được. Có nghĩa là không thể lập danh sách bao gồm tất cả các phần tử của các tập hợp đó.
Một trong những hàm rời rạc phổ biến nhất là hàm giai thừa. f: N U {0} → N xác định đệ quy bởi f (n)=n f (n-1) với mỗi n ≥ 1 và f (0)=1 được gọi là hàm giai thừa. Quan sát rằng miền N U {0} của nó là nhiều nhất có thể đếm được.
Hàm liên tục là gì?
Gọi f là hàm sao cho với mỗi k trong miền của f, f (x) → f (k) là x → k. Khi đó f là hàm liên tục. Điều này có nghĩa là có thể làm cho f (x) gần với f (k) một cách tùy ý bằng cách làm cho x đủ gần với k với mỗi k trong miền của f.
Xét hàm số f (x)=x + 2 trên R. Có thể thấy rằng với x → k, x + 2 → k + 2 tức là f (x) → f (k). Do đó, f là hàm liên tục. Bây giờ, hãy xét g trên các số thực dương g (x)=1 nếu x > 0 và g (x)=0 nếu x=0. Khi đó, hàm này không phải là một hàm liên tục vì giới hạn của g (x) không tồn tại (và do đó nó không bằng g (0)) là x → 0.
Sự khác biệt giữa chức năng rời rạc và liên tục là gì?
• Một hàm rời rạc là một hàm mà miền của nó là nhiều nhất có thể đếm được nhưng nó không phải là trường hợp của các hàm liên tục.
• Tất cả các hàm liên tục ƒ đều có tính chất ƒ (x) → ƒ (k) là x → k với mỗi x và với mỗi k trong miền của ƒ, nhưng nó không phải là trường hợp trong một số hàm rời rạc.
