Biến ngẫu nhiên so với Phân phối xác suất
Thí nghiệm thống kê là các thí nghiệm ngẫu nhiên có thể được lặp lại vô thời hạn với một tập hợp các kết quả đã biết. Cả biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất đều liên quan đến các thí nghiệm như vậy. Đối với mỗi biến ngẫu nhiên, có một phân phối xác suất liên quan được xác định bởi một hàm được gọi là hàm phân phối tích lũy.
Biến ngẫu nhiên là gì?
Biến ngẫu nhiên là một hàm gán các giá trị số cho các kết quả của một thử nghiệm thống kê. Nói cách khác, nó là một hàm được xác định từ không gian mẫu của một thử nghiệm thống kê thành tập các số thực.
Ví dụ: hãy xem xét một thí nghiệm ngẫu nhiên về việc tung đồng xu hai lần. Các kết quả có thể xảy ra là HH, HT, TH và TT (H - đầu, T - truyện). Gọi biến số X là số đầu quan sát được trong thí nghiệm. Khi đó, X có thể nhận các giá trị 0, 1 hoặc 2 và nó là một biến ngẫu nhiên. Tại đây, biến ngẫu nhiên X sẽ ánh xạ tập S={HH, HT, TH, TT} (không gian mẫu) thành tập {0, 1, 2} theo cách HH được ánh xạ tới 2, HT và TH được ánh xạ tới 1 và TT được ánh xạ tới 0. Trong ký hiệu hàm, điều này có thể được viết dưới dạng, X: S → R trong đó X (HH)=2, X (HT)=1, X (TH)=1 và X (TT)=0.
Có hai loại biến ngẫu nhiên: rời rạc và liên tục, do đó số lượng giá trị có thể có mà một biến ngẫu nhiên có thể giả định là nhiều nhất có thể đếm được hoặc không. Trong ví dụ trước, biến ngẫu nhiên X là một biến ngẫu nhiên rời rạc vì {0, 1, 2} là một tập hữu hạn. Bây giờ, hãy xem xét thí nghiệm thống kê về việc tìm trọng lượng của các học sinh trong một lớp học. Gọi Y là biến ngẫu nhiên được xác định là cân nặng của một học sinh. Y có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào trong một khoảng thời gian cụ thể. Do đó, Y là một biến ngẫu nhiên liên tục.
Phân phối xác suất là gì?
Phân phối xác suất là một hàm mô tả xác suất của một biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nhất định.
Một hàm được gọi là hàm phân phối tích lũy (F) có thể được định nghĩa từ tập các số thực đến tập các số thực là F (x)=P (X ≤ x) (xác suất của X nhỏ hơn hoặc bằng x) với mỗi kết quả có thể xảy ra x. Bây giờ, hàm phân phối tích lũy của X trong ví dụ đầu tiên có thể được viết dưới dạng F (a)=0, nếu a<0; F (a)=0,25, nếu 0≤a<1; F (a)=0,75, nếu 1≤a<2 và F (a)=1, nếu a≥2.
Trong trường hợp các biến ngẫu nhiên rời rạc, một hàm có thể được xác định từ tập các kết quả có thể có thành tập các số thực theo cách sao cho ƒ (x)=P (X=x) (xác suất của X bằng x) với mỗi kết quả có thể x. Hàm ƒ cụ thể này được gọi là hàm khối lượng xác suất của biến ngẫu nhiên X. Bây giờ, hàm khối lượng xác suất của X trong ví dụ cụ thể đầu tiên có thể được viết là ƒ (0)=0,25, ƒ (1)=0,5, ƒ (2)=0,25 và ƒ (x)=0 nếu không. Do đó, hàm khối lượng xác suất cùng với hàm phân phối tích lũy sẽ mô tả phân phối xác suất của X trong ví dụ đầu tiên.
Trong trường hợp các biến ngẫu nhiên liên tục, một hàm được gọi là hàm mật độ xác suất (ƒ) có thể được định nghĩa là ƒ (x)=dF (x) / dx cho mỗi x trong đó F là hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên liên tục. Dễ dàng thấy rằng hàm này thỏa mãn ∫ƒ (x) dx=1. Hàm mật độ xác suất cùng với hàm phân phối tích lũy mô tả phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục. Ví dụ: phân phối chuẩn (là phân phối xác suất liên tục) được mô tả bằng cách sử dụng hàm mật độ xác suất ƒ (x)=1 / √ (2πσ2) e ^ ([(x- µ)]2/ (2σ2)).
Sự khác biệt giữa Biến ngẫu nhiên và Phân phối xác suất là gì?
• Biến ngẫu nhiên là một hàm liên kết các giá trị của không gian mẫu với một số thực.
• Phân phối xác suất là một hàm liên kết các giá trị mà một biến ngẫu nhiên có thể nhận với xác suất xuất hiện tương ứng.
