Liên kết so với Giao hoán
Trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta, chúng ta phải sử dụng các con số bất cứ khi nào chúng ta cần đo lường một thứ gì đó. Ở cửa hàng tạp hóa, ở trạm xăng, và thậm chí trong nhà bếp, chúng ta cần cộng, trừ và nhân hai hoặc nhiều số lượng. Từ thực tiễn của chúng tôi, chúng tôi thực hiện các phép tính này khá dễ dàng. Chúng tôi không bao giờ nhận thấy hoặc đặt câu hỏi tại sao chúng tôi thực hiện các hoạt động này theo cách cụ thể này. Hoặc tại sao những tính toán này không thể được thực hiện theo một cách khác. Câu trả lời ẩn trong cách các phép toán này được định nghĩa trong lĩnh vực toán học của đại số.
Trong đại số, một phép toán liên quan đến hai đại lượng (chẳng hạn như phép cộng) được định nghĩa là một phép toán nhị phân. Chính xác hơn nó là một phép toán giữa hai phần tử từ một tập hợp và những phần tử này được gọi là 'toán hạng'. Nhiều phép toán trong toán học bao gồm các phép toán số học đã đề cập trước đó và các phép toán gặp trong lý thuyết tập hợp, đại số tuyến tính và logic toán học có thể được định nghĩa là các phép toán nhị phân.
Có một tập hợp các quy tắc quản lý liên quan đến một hoạt động nhị phân cụ thể. Các thuộc tính liên kết và giao hoán là hai thuộc tính cơ bản của các phép toán nhị phân.
Thông tin thêm về Thuộc tính Giao hoán
Giả sử một số phép toán nhị phân, ký hiệu là ký hiệu ⊗, được thực hiện trên các phần tử A và B. Nếu thứ tự của các toán hạng không ảnh hưởng đến kết quả của phép toán, thì phép toán đó được cho là có tính chất giao hoán. tức là nếu A ⊗ B=B ⊗ A thì phép toán là giao hoán.
Các phép tính số học cộng và nhân có tính chất giao hoán. Thứ tự của các số được cộng hoặc nhân với nhau không ảnh hưởng đến câu trả lời cuối cùng:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Nhưng trong trường hợp phép chia thay đổi theo thứ tự cho số nghịch đảo của số kia, và trong phép trừ thay đổi cho số âm của số kia. Do đó, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5=-1 và 5 - 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 và 5 ÷ 4=1,25 [trong trường hợp này là A, B ≠ 1 và 0]
Trên thực tế, phép trừ được cho là phản giao hoán; trong đó A - B=- (B - A).
Ngoài ra, các phép nối lôgic, phép liên kết, phép nối, hàm ý và phép tương đương, cũng có tính chất giao hoán. Các hàm chân trị cũng có tính chất giao hoán. Liên hiệp các phép toán tập hợp và giao điểm có tính chất giao hoán. Phép cộng và tích vô hướng của các vectơ cũng có tính chất giao hoán.
Nhưng phép trừ vectơ và tích vectơ không giao hoán (tích vectơ của hai vectơ là phản giao hoán). Phép cộng ma trận có tính chất giao hoán, nhưng phép nhân và phép trừ không có tính chất giao hoán.(Phép nhân hai ma trận có thể giao hoán trong các trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phép nhân ma trận với nghịch đảo của nó hoặc ma trận đồng nhất; nhưng chắc chắn ma trận không giao hoán nếu các ma trận không cùng kích thước)
Thông tin thêm về Thuộc tính liên kết
Một phép toán nhị phân được cho là liên kết nếu thứ tự thực hiện không ảnh hưởng đến kết quả khi có hai hoặc nhiều lần xuất hiện của toán tử. Xét các phần tử A, B và C và phép toán nhị phân ⊗. Phép toán ⊗ được cho là liên kết nếu
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Từ các hàm số học cơ bản, chỉ có phép cộng và phép nhân là có liên quan.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
Phép trừ và phép chia không liên kết;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3)=2 và (5 - 4) - 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 và (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Các phép liên kết lôgic rời, kết hợp và tương đương là liên kết, cũng như liên hiệp các phép toán đặt và giao điểm. Ma trận và phép cộng vectơ là liên kết. Tích vô hướng của vectơ là liên kết, nhưng tích vectơ thì không. Phép nhân ma trận chỉ có tính chất kết hợp trong những trường hợp đặc biệt.
Sự khác biệt giữa Thuộc tính Giao hoán và Thuộc tính Liên kết là gì?
• Cả thuộc tính kết hợp và thuộc tính giao hoán đều là các thuộc tính đặc biệt của các phép toán nhị phân, một số thỏa mãn chúng và một số thì không.
• Các thuộc tính này có thể được nhìn thấy trong nhiều dạng phép toán đại số và các phép toán nhị phân khác trong toán học, chẳng hạn như giao và hợp trong lý thuyết tập hợp hoặc các liên kết logic.
• Sự khác biệt giữa giao hoán và kết hợp là thuộc tính giao hoán nói rằng thứ tự của các phần tử không thay đổi kết quả cuối cùng trong khi thuộc tính kết hợp nói rằng thứ tự thực hiện thao tác, không ảnh hưởng đến câu trả lời cuối cùng.
