Tập hợp con so với Tập hợp con thích hợp
Việc nhận thức thế giới thông qua việc phân loại mọi thứ thành các nhóm là điều hoàn toàn tự nhiên. Đây là cơ sở của khái niệm toán học được gọi là 'Lý thuyết tập hợp'. Lý thuyết tập hợp được phát triển vào cuối thế kỷ XIX, và hiện nay, nó có mặt khắp nơi trong toán học. Gần như tất cả toán học có thể được hình thành bằng cách sử dụng lý thuyết tập hợp làm nền tảng. Ứng dụng của lý thuyết tập hợp bao gồm từ toán học trừu tượng đến tất cả các môn học trong thế giới vật chất hữu hình.
Tập hợp con và Tập hợp con thích hợp là hai thuật ngữ thường được sử dụng trong Lý thuyết tập hợp để giới thiệu mối quan hệ giữa các tập hợp.
Nếu mỗi phần tử trong tập A cũng là thành viên của tập B, thì tập A được gọi là tập con của B. Điều này cũng có thể được đọc là “A nằm trong B”. Chính thức hơn, A là một tập con của B, được ký hiệu là A⊆B nếu, x∈A ngụ ý x∈B.
Bản thân bất kỳ tập hợp nào cũng là một tập hợp con của cùng một tập hợp, bởi vì, rõ ràng, bất kỳ phần tử nào nằm trong một tập hợp cũng sẽ nằm trong cùng một tập hợp. Chúng ta nói “A là một tập con thích hợp của B” nếu, A là một tập con của B nhưng A không bằng B. Để biểu thị rằng A là một tập con thích hợp của B, chúng ta sử dụng ký hiệu A⊂B. Ví dụ, tập {1, 2} có 4 tập con, nhưng chỉ có 3 tập con thích hợp. Vì {1, 2} là một tập con nhưng không phải là một tập con thích hợp của {1, 2}.
Nếu một tập hợp là tập hợp con thích hợp của tập hợp khác, thì nó luôn là tập hợp con của tập hợp đó, (tức là nếu A là một tập hợp con thích hợp của B, điều đó ngụ ý rằng A là một tập hợp con của B). Nhưng có thể có những tập hợp con, không phải là những tập hợp con thích hợp của tập hợp con của chúng. Nếu hai tập hợp bằng nhau thì chúng là tập hợp con của nhau, nhưng không phải là tập hợp con thích hợp của nhau.
Tóm lại:
- Nếu A là tập con của B thì A và B có thể bằng nhau.
- Nếu A là một tập con thích hợp của B thì A không thể bằng B.
