Orthogonal vs Orthonormal
Trong toán học, hai từ trực giao và trực chuẩn thường được sử dụng cùng với một tập các vectơ. Ở đây, thuật ngữ ‘vectơ’ được dùng với nghĩa nó là một phần tử của không gian vectơ - một cấu trúc đại số được sử dụng trong đại số tuyến tính. Đối với cuộc thảo luận của chúng ta, chúng ta sẽ xem xét một không gian tích bên - một không gian vectơ V cùng với một tích trong được xác định trên V.
Ví dụ: đối với một sản phẩm bên trong, không gian là tập hợp của tất cả các vectơ vị trí 3 chiều cùng với tích chấm thông thường.
Trực giao là gì?
Một tập con khác rỗng S của không gian tích bên trong V được cho là trực giao, nếu và chỉ khi với mỗi u, v phân biệt trong S, [u, v]=0; tức là tích bên trong của u và v bằng vô hướng 0 trong không gian tích bên trong.
Ví dụ, trong tập tất cả các vectơ vị trí 3 chiều, điều này tương đương với việc nói rằng, với mỗi cặp vectơ vị trí p và q riêng biệt trong S, p và q vuông góc với nhau. (Hãy nhớ rằng tích trong trong không gian vectơ này là tích chấm. Ngoài ra, tích chấm của hai vectơ bằng 0 nếu và chỉ khi hai vectơ vuông góc với nhau.)
Xét tập S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, là một tập con của các vectơ vị trí 3 chiều. Quan sát rằng (0, 2, 0). (4, 0, 0)=0, (4, 0, 0). (0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0). (0, 0, 5)=0. Do đó, tập S là trực giao. Đặc biệt, hai vectơ được cho là trực giao nếu tích trong của chúng bằng 0. Do đó, mỗi cặp vectơ trong Sis trực giao.
Chính thống là gì?
Một tập con khác rỗng S của không gian tích bên trong V được cho là trực chuẩn nếu và chỉ khi S là trực giao và với mỗi vectơ u trong S, [u, u]=1. Do đó, có thể thấy rằng mọi tập hợp trực chuẩn là trực giao nhưng không phải ngược lại.
Ví dụ, trong tập hợp tất cả các vectơ vị trí 3 chiều, điều này tương đương với việc nói rằng, với mỗi cặp vectơ vị trí p và q riêng biệt trong S, p và q vuông góc với nhau, và đối với mỗi p trong S, | p |=1. Điều này là do điều kiện [p, p]=1 giảm xuống p.p=| p || p | cos0=| p |2=1, tương đương với | p |=1. Do đó, đã cho một tập trực giao, chúng ta luôn có thể tạo thành một tập trực giao tương ứng bằng cách chia mỗi vectơ cho độ lớn của nó.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} là một tập con chính tắc của tập tất cả các vectơ vị trí 3 chiều. Dễ dàng nhận thấy rằng nó thu được bằng cách chia mỗi vectơ trong tập S, cho độ lớn của chúng.
Sự khác biệt giữa trực giao và trực chuẩn là gì?
- Một tập con khác rỗng S của không gian tích bên trong V được cho là trực giao, nếu và chỉ khi với mỗi u, v khác nhau trong S, [u, v]=0. Tuy nhiên, nó là trực chuẩn, nếu và chỉ khi một điều kiện bổ sung - với mỗi vectơ u trong S, [u, u]=1 được thỏa mãn.
- Bất kỳ tập hợp chuẩn tắc nào cũng là trực giao nhưng không phải ngược lại.
- Bất kỳ tập hợp trực giao nào đều tương ứng với một tập hợp trực chuẩn duy nhất nhưng một tập hợp trực giao có thể tương ứng với nhiều tập hợp trực giao.
