Tích hợp so với Tổng kết
Trong toán học phổ thông ở trên, tích phân và tính tổng thường được tìm thấy trong các phép toán. Chúng dường như được sử dụng như những công cụ khác nhau và trong những tình huống khác nhau, nhưng chúng có mối quan hệ rất chặt chẽ.
Thông tin thêm về Summation
Summation là phép toán cộng một dãy số và phép toán này thường được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp viết hoa sigma Σ. Nó được dùng để viết tắt tổng và bằng tổng / tổng của dãy số. Chúng thường được sử dụng để đại diện cho chuỗi, về cơ bản là các chuỗi vô hạn được tổng hợp lại. Chúng cũng có thể được sử dụng để chỉ ra tổng của vectơ, ma trận hoặc đa thức.
Việc tổng kết thường được thực hiện cho một phạm vi giá trị có thể được biểu diễn bằng một số hạng chung, chẳng hạn như một chuỗi có một số hạng chung. Điểm bắt đầu và điểm kết thúc của tổng kết lần lượt được gọi là giới hạn dưới và giới hạn trên của tổng kết.
Ví dụ: tổng của dãy a1, a2, a3, a4,…, anlà1+ a2+ a3+… + ancó thể được biểu diễn dễ dàng bằng cách sử dụng ký hiệu tổng là ∑i=1ai; tôi được gọi là chỉ số tổng kết.
Nhiều biến thể được sử dụng cho phần tổng kết dựa trên ứng dụng. Trong một số trường hợp, giới hạn trên và giới hạn dưới có thể được cho dưới dạng một khoảng hoặc một dải, chẳng hạn như ∑1≤i≤100aivà ∑i∈ [1, 100]aiHoặc nó có thể được cho dưới dạng một tập hợp các số như ∑i∈Pai, trong đó P là tập xác định.
Trong một số trường hợp, hai hoặc nhiều dấu hiệu sigma có thể được sử dụng, nhưng chúng có thể được tổng quát như sau; ∑j∑kajk=∑j, kajk.
Ngoài ra, tính tổng tuân theo nhiều quy tắc đại số. Vì hoạt động nhúng là phép cộng, nhiều quy tắc chung của đại số có thể được áp dụng cho chính các tổng và cho các thuật ngữ riêng lẻ được mô tả bằng tổng.
Thông tin thêm về Tích hợp
Sự tích hợp được định nghĩa là quá trình ngược lại của sự khác biệt hóa. Nhưng theo quan điểm hình học, nó cũng có thể được coi là vùng được bao bởi đường cong của hàm và trục. Do đó, phép tính diện tích cho giá trị của một tích phân xác định như được hiển thị trong sơ đồ.
Nguồn ảnh:
Giá trị của tích phân xác định thực sự là tổng các dải nhỏ bên trong đường cong và trục. Diện tích của mỗi dải là chiều cao × chiều rộng tại điểm trên trục được xem xét. Chiều rộng là một giá trị mà chúng ta có thể chọn, chẳng hạn như ∆x. Và chiều cao xấp xỉ giá trị của hàm tại điểm được xem xét, giả sử f (xi). Từ biểu đồ, rõ ràng là các dải càng nhỏ thì dải càng khít bên trong vùng giới hạn càng tốt, do đó giá trị gần đúng hơn.
Vì vậy, nói chung, tích phân xác định I, giữa các điểm a và b (tức là trong khoảng [a, b] trong đó a<b), có thể được cho dưới dạng I ≅ f (x1) ∆x + f (x2 ) ∆x + ⋯ + f (xn ) ∆x, với n là số dải (n=(b-a) / ∆x). Tổng diện tích này có thể được biểu diễn dễ dàng bằng cách sử dụng ký hiệu tổng là I ≅ ∑i=1f (xi) ∆x. Vì tính gần đúng tốt hơn khi ∆x nhỏ hơn, nên chúng ta có thể tính giá trị khi ∆x → 0. Do đó, có thể nói I=lim∆x → 0∑i=1f (xi) ∆x.
Như một sự tổng quát hóa từ khái niệm trên, chúng ta có thể chọn ∆x dựa trên khoảng được xem xét được lập chỉ mục bởi i (chọn chiều rộng của khu vực dựa trên vị trí). Sau đó, chúng tôi nhận được
I=lim∆x → 0∑i=1f (x i ) ∆xi=a∫bf (x) dx
Đây được gọi là Tích phân Reimann của hàm f (x) trong khoảng [a, b]. Trong trường hợp này a và b được gọi là cận trên và cận dưới của tích phân. Tích phân Reimann là một dạng cơ bản của tất cả các phương pháp tích phân.
Về bản chất, tích phân là tổng diện tích khi chiều rộng của hình chữ nhật là một số thập phân.
Sự khác biệt giữa Tích hợp và Tính tổng là gì?
• Tính tổng là phép cộng của một dãy số. Thông thường, tổng được đưa ra ở dạng này ∑i=1aikhi các số hạng trong dãy có một mẫu và có thể được diễn đạt bằng một thuật ngữ chung.
• Tích hợp về cơ bản là vùng được giới hạn bởi đường cong của hàm, trục và các giới hạn trên và dưới. Khu vực này có thể được đưa ra dưới dạng tổng các khu vực nhỏ hơn nhiều được bao gồm trong khu vực bị giới hạn.
• Tính tổng liên quan đến các giá trị rời rạc với giới hạn trên và giới hạn dưới, trong khi tích hợp bao gồm các giá trị liên tục.
• Tích hợp có thể được hiểu là một dạng tổng kết đặc biệt.
• Trong các phương pháp tính toán số, tích phân luôn được thực hiện dưới dạng một phép tính tổng.
